Rozwiązanie

Punkt A (x, y) = (1, 10) należy do prostej $$y=(m-3)x+1,$$więc podstawiamy jego współrzędne do tej prostej i wyznaczamy szukany parametr:$$10=(m-3)\cdot 1+1$$$$m=12$$

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$Wyznaczmy kolejne długości boków trójkąta: $$|AB|=\sqrt{(-2-8)^2+(7-8)^2}=\sqrt{101}$$ $$|AC|=\sqrt{(14-8)^2+(-2-8)^2}=2\sqrt{34}$$ $$|BC|=\sqrt{(14-(-2))^2+(-2-7)^2}=\sqrt{337}$$Najdłuższy bok ma długość: $$\sqrt{337}$$

Rozwiązanie

Prostą $$-7x-10y-2=0$$przedstawmy w postaci kierunkowej:$$y=-\frac{7}{10}x-\frac{1}{5}$$Następnie korzystamy z warunku na proste prostopadłe: $$a_1\cdot a_2=-1$$$$-\frac{7}{10}\cdot a_2=-1$$$$a_2=\frac{10}{7}$$

Rozwiązanie

Popatrzmy na wykres podanej prostej:

Szukany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, którego kąt ostry znajduje się w wierzchołku w punkcie (0, 0). Długości przyprostokątnych tego trójkąta są równe: |b| = |-1| = 1 (punkt (0, b) jest punktem przecięcia z osią OY) oraz $$|x_0|=\left|\frac{-b}{a}\right|=\left|\frac{1}{-3}\right|=\frac{1}{3}$$(punkt (0, -b/a) jest punktem przecięcia się prostej z osią OX, gdzie -b/a jest miejscem zerowym podanej prostej). Pole trójkąta wyznaczymy ze wzoru $$P=\frac{1}{2}|x_0|\cdot |b|=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{6}$$

Rozwiązanie

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} 38=a\cdot(-7)+b\newline 28=a\cdot(-5)+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-5\newline b = 3 \end{matrix}\right. $$Szukana prosta wyrażona jest wzorem:$$AB:y=-5x+3$$Następnie podstawiamy pozostałe punkty i sprawdzamy, który spełnia równanie prostej $$AB:y=-5x+3$$$$D:\ -17=-5\cdot4+3$$Punktami współliniowymi są: A, B, D

Rozwiązanie

Zauważ, że długość średnicy okręgu jest równa długości odcinka AB. Wystarczy zastosować wzór na odległość między dwoma punktami na układzie współrzędnych: $$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(-1-3)^2+(-7-4)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{137}$$ $$Średnica=|AB|=\sqrt{137}$$

Rozwiązanie

Sposób I

Początkiem układu współrzędnych jest punkt (0, 0). Do określenia wzoru funkcji g będziemy potrzebowali dwóch punktów odbitych względem tego środka. Aby to uzyskać, zmieniamy współrzędne podanych punktów na przeciwne: $$A'=(0,3)$$ $$B'=(-1,0)$$ Szukamy prostej $$g:y=ax+b$$Wyraz stały b odczytujemy z punktu przecięcia z osią OY$$b=3$$ Mamy więc kawałek wzoru funkcji $$g:y=ax+3$$Funkcja ta przechodzi przez punkt B', którego współrzędne podstawiamy do wzoru funkcji $$0=-1a+3$$$$a=3$$Otrzymujemy pełen wzór funkcji g:$$y=3x+3$$

Sposób II

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B, analogicznie jak przedstawia sposób I: $$f:y=3x-3$$Następnie stosujemy wzór na symetrię środkową $$y=-f(-x)$$ $$g:y=-(3(-x)-3)$$$$y=3x+3$$

Sposób III

Funkcja g jest równoległa do funkcji f, a więc ma taki sam współczynnik kierunkowy. Wyraz stały b wyznaczamy analogicznie jak w sposobie I i II.

Rozwiązanie

Skorzystamy z warunku na proste równoległe. Współczynniki kierunkowe tych prostych muszą być sobie równe. Współczynnikiem kierunkowym pierwszej prostej jest wyrażenie $$a_1 = 4m+10$$natomiast drugiej $$a_2=8m-2.$$Podstawiamy do warunku $$a_1=a_2$$ i otrzymujemy równanie $$4m+10=8m-2$$ $$4m-8m=-10-2$$ $$-4m=-12$$$$m=3$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności przekształcamy równanie prostej z treści zadania do postaci kierunkowej, aby dowiedzieć się jaki jest jej współczynnik kierunkowy:$$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$$Wspólczynnik stojący przy x (współczynnik kierunkowy) ma wartość: $$a=\frac{1}{2}$$Teraz skorzystamy z warunku na prostopadłość dwóch prostych $$a_1\cdot a_2 = -1$$Niech a₁ będzie współczynnikiem prostej z zadania, a a₂ współczynnikiem prostej, której wzór szukamy, mamy więc równanie: $$\frac{1}{2}\cdot a_2 = -1$$$$a_2=-2$$Zatem brakuje nam jeszcze wyrazu stałego b:$$y=-2x+b$$Prosta przechodzi przez punkt P = (3, 2), który podstawiamy do powyższego równania:$$2=-2\cdot 3+b$$$$b=8$$Szukany wzór to:$$y=-2x+8$$

Rozwiązanie

Mając współrzędne wierzchołków trójkąta: $$A=(1,2),\ B=(-3,7),\ C=(x,0)$$ wyznaczmy długości jego boków: $$|AB|=\sqrt{(-3-1)^2+(7-2)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(x-1)^2+(0-2)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(x-(-3))^2+(0-7)^2}$$Następnie podstawimy wyznaczone długości do twierdzenia Pitagorasa:$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2$$ $$x^2-2x+1+4=41+x^2+6x+9+49$$$$-8x=94$$$$x=-\frac{47}{4}\approx -11.75$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A = (20, 3) i B = (-15, -4) podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej:$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} 3=a\cdot20+b\newline -4=a\cdot(-15)+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{5}\newline b = -1 \end{matrix}\right. $$Następnie wykorzystamy warunek na proste prostopadłe:$$a_1\cdot a_2=-1$$ aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość:$$\frac{1}{5}\cdot a_2=-1$$$$a_2=-5$$Prosta zawierająca szukaną wysokość wyraża się wzorem:$$h:y=-5x+b$$Aby wyznaczyć niewiadomą b podstawiamy punkt C=(2, -10), przez który ta prosta przechdzi:$$-10=-5\cdot 2+b$$$$b=0$$Szukany wzór ma postać:$$h:y=-5x+0$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczymy współrzędne środka odcinka AB korzystając ze wzoru: $$S_{AB}(x,y)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$$$S_{AB}(x,y)=\left(\frac{-5+(-1)}{2},\frac{3+(-13)}{2}\right)$$$$S_{AB}=(-3,-5)$$W drugim kroku wyznaczymy prostą zawierającą środkową trójkąta przechodzącą przez punkty C = (9, 31) i S_AB = (-3, -5) podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej:$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} 31=a\cdot9+b\newline -5=a\cdot(-3)+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\newline b = 4 \end{matrix}\right. $$

Rozwiązanie

Krok 1 - wyznaczenie prostej prostopadłej do y = -x i przechodzącej przez punkt A = (2, -3)

Szukamy wzoru funkcji prostopodałej do podanej: $$y=a_2x+b$$Wspólczynnik kierunkowy prostej podanej w zadaniu ma wartość: $$a=-1$$Korzystamy z warunku na proste prostopadłe: $$a_1\cdot a_2 = -1$$Niech a₁ będzie współczynnikiem prostej z zadania, a a₂ współczynnikiem prostej, której wzóru szukamy, mamy więc równanie: $$-1\cdot a_2 = -1$$$$a_2=1$$Zatem brakuje nam jeszcze wyrazu stałego b:$$y=x+b$$Prosta przechodzi przez punkt A = (2, -3), który podstawiamy do powyższego równania:$$-3=1\cdot 2+b$$$$b=-5$$Szukany wzór to:$$y=x-5$$

Krok 2 - wyznaczenie punktu przecięcia się prostych

$$y = -x$$ $$y=x-5$$który jest środkiem odcinka AB. W tym celu rozwiązujemy układ równań: $$\left\{\begin{matrix} y = -x \newline y=x-5 \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} x = 2\frac{1}{2} \newline y=-2\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$Współrzędne punku przecięcia sie prostych:$$S = \left (2\frac{1}{2},\ -2\frac{1}{2}\right )$$

Krok 3 - wyznaczenie współrzędnych punktu B ze wzoru na środek odcinka

Zauważ, że punkt S jest środkiem odcinak AB. Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, aby wyznaczyć współrzędne punktu B:$$S(x_S,\ y_S) =\left (\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right )$$$$S\left (2\frac{1}{2},\ -2\frac{1}{2}\right ) =\left (\frac{2+x_B}{2},\ \frac{-3+y_B}{2}\right )$$$$\left\{\begin{matrix} 2\frac{1}{2}= \frac{2+x_B}{2}\newline -2\frac{1}{2}= \frac{-3+y_B}{2} \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} x_B = 3\newline y_B = -2 \end{matrix}\right.$$Odp. $$B = \left ( 3,\ -2\right )$$